Cách giải phương trình lượng giác hay nhất

[admin]

Trong hệ thống toán học trung học phổ thông, phương trình lượng giác đóng vai trò cầu nối giữa đại số và hình học, giữa lý thuyết hàm số và các bài toán thực tế. Đây là dạng phương trình có chứa các hàm lượng giác của góc, thường xuất hiện trong bài tập giải phương trình, khảo sát hàm tuần hoàn và ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, điện xoay chiều.
Bài viết này được xây dựng như một hướng dẫn toàn diện, giúp người học nắm vững bản chất, phương pháp biến đổi, quy luật chu kỳ nghiệm và chiến lược giải nhanh cho từng dạng phương trình lượng giác trong chương trình từ THCS đến THPT.

1. Khái niệm cơ bản về phương trình lượng giác​

1.1 Định nghĩa​

Phương trình lượng giác là phương trình có ẩn là góc (thường ký hiệu là $x$ hoặc $\theta$) và có chứa hàm lượng giác như $\sin x, \cos x, \tan x, \cot x$.
Dạng tổng quát: $f(\sin x, \cos x, \tan x, \cot x) = 0$
Mục tiêu của việc giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các giá trị của x (theo radian hoặc độ) thoả mãn phương trình.

1.2 Đặc điểm​

• Biến $x$ là góc, có miền giá trị $x \in \mathbb{R}$.
• Các hàm lượng giác có tính chu kỳ, nên nghiệm của phương trình thường lặp lại theo chu kỳ.
• Có thể dùng công thức lượng giác cơ bản hoặc biến đổi đại số để đưa về dạng quen thuộc.

2. Các dạng phương trình lượng giác cơ bản​

• Phương trình $\sin x = a$ với điều kiện: $-1 \le a \le 1$
• Phương trình $\cos x = a$ với điều kiện: $-1 \le a \le 1$
• Phương trình $\tan x = a$
• Phương trình $\cot x = a$

3. Các dạng phương trình lượng giác thường​

3.1 Phương trình bậc hai theo $\sin x$ hoặc $\cos x$​

Ví dụ: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$
Giải như phương trình bậc hai ẩn $\sin x$: $\sin x = 1$ hoặc $\sin x = \frac{1}{2}$
Sau đó giải hai phương trình lượng giác cơ bản tương ứng.

3.2 Phương trình có chứa cả $\sin x$ và $\cos x$​

Ví dụ: $\sin x + \cos x = 1$
Ta có thể chia cả hai vế cho $\cos x$ (nếu $\cos x \neq 0$) để đưa về dạng: $\tan x + 1 = \sec x$
Hoặc dùng công thức hạ bậc / công thức phụ: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$
⇒ $\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$
Rồi giải tương tự phương trình cơ bản.

3.3 Phương trình đối xứng hoặc đồng dạng​

Ví dụ: $\sin x = \cos x$
Suy ra: $\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi$
Hoặc: $\sin x = - \cos x$ $ \Rightarrow \tan x = - 1$ $ \Rightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi $

3.4 Phương trình bậc cao theo hàm lượng giác​

Ví dụ: $4\cos^3 x - 3\cos x = 0$
Đặt $\cos x = t$, ta có: $t(4{t^2} - 3) = 0$ $ \Rightarrow t = 0{\rm{ }}$ hoặc $t = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Rồi giải ra nghiệm của $x$ tương ứng.

3.5 Phương trình tích​

Ví dụ: $\sin x(\sin x - \cos x) = 0$
Khi đó: $\sin x = 0$ hoặc $\sin x = \cos x$ → Giải từng trường hợp riêng lẻ.

3.6 Phương trình có tham số​

Ví dụ: $2\sin x = a$
Phải xét điều kiện của tham số: $-2 \le a \le 2$
Nếu $|a| > 2$ thì phương trình vô nghiệm.

4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác​

4.1 Dùng công thức biến đổi lượng giác​

Một số công thức thường dùng:

• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
• $\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$

Nhờ các công thức này, ta có thể đưa phương trình về dạng cơ bản để dễ giải.

4.2 Đặt ẩn phụ​

Khi phương trình chứa các biểu thức phức tạp như: $a\sin x + b\cos x = c$
Ta đặt: $R = \sqrt{a^2 + b^2},\quad \tan \alpha = \frac{b}{a}$
Khi đó:$a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \alpha)$
→ Phương trình trở thành $R\sin(x + \alpha) = c$, dễ dàng giải được.

4.3 Biến đổi đồng nhất hoặc dùng công thức nhân đôi​

Ví dụ: $\cos 2x = \sin x$
Dùng công thức $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $1 - 2\sin^2 x = \sin x \Rightarrow 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
Giải như phương trình bậc hai theo $\sin x$.

4.4 Dùng công thức hạ bậc​

Ví dụ: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
Giúp giảm bậc lượng giác để dễ xử lý phương trình bậc cao.

5. Chu kỳ nghiệm và biểu diễn nghiệm tổng quát​

Hàm lượng giác có tính chu kỳ, vì vậy nghiệm thường được biểu diễn dưới dạng:

Hàm lượng giác	Chu kỳ	Dạng nghiệm tổng quát
$\sin x = a$	$2\pi$	$x = \arcsin a + k2\pi$ hoặc $x = \pi - \arcsin a + k2\pi$
$\cos x = a$	$2\pi$	$x = \pm\arccos a + k2\pi$
$\tan x = a$	$\pi$	$x = \arctan a + k\pi$
$\cot x = a$	$\pi$	$x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi $

6. Kết luận​

Phương trình lượng giác là chủ đề cốt lõi trong chương trình Toán THPT, giúp học sinh không chỉ rèn luyện kỹ năng biến đổi và tư duy logic, mà còn mở ra ứng dụng trong các ngành khoa học kỹ thuật hiện đại.
Việc nắm vững các dạng cơ bản, công thức biến đổi và chu kỳ nghiệm sẽ giúp bạn tự tin giải nhanh các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Đồng thời bạn có thể xem thêm bài viết sau:

1. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
2. Phương trình bậc nhất theo sin và cos