Trong hình học lớp 8, khái niệm hai đường tròn bằng nhau (tiếng Anh: Congruent Circles) là một phần quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ kích thước giữa các hình tròn. Khi hai đường tròn có cùng bán kính, chúng được coi là bằng nhau, tức là có hình dạng và kích thước hoàn toàn trùng khớp nếu đặt chồng lên nhau.
Hiểu rõ đặc điểm của hai đường tròn bằng nhau không chỉ giúp ta nắm chắc kiến thức cơ bản về hình tròn, mà còn hỗ trợ tốt cho các bài toán dựng hình, so sánh cung – dây – góc ở tâm và các bài toán thực tế liên quan đến vật thể tròn trong đời sống.
Giả sử ta có hai đường tròn:
Ký hiệu “$\cong$” nghĩa là “bằng nhau về hình dạng và kích thước”.
Ví dụ
Ví dụ: $r_1 = 3 , \text{cm}, , r_2 = 3 , \text{cm} \Rightarrow (O_1; 3) \cong (O_2; 3)$
Giải:
Vì $r_1 = r_2 = 2,cm$ nên $(O_1; r_1) \cong (O_2; r_2)$.
→ Hai đường tròn bằng nhau.
Ngược lại, nếu hai dây bằng nhau trong hai đường tròn bằng nhau, thì hai dây này cách tâm một khoảng bằng nhau.
Ví dụ: Trong hai đường tròn bằng nhau $(O_1; r)$ và $(O_2; r)$, nếu $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$ thì: $ \text{Độ dài cung } AB = \text{Độ dài cung } A'B' $
Ví dụ: $\text{Nếu } AB = A'B' \Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$
Ví dụ: $ (O; 2) $ và $ (O; 4) $ là hai đường tròn đồng tâm, nhưng không bằng nhau vì $r_1 \ne r_2$.
→ Vì thế, đường tròn tiếp xúc không đồng nghĩa với đường tròn bằng nhau.
Khi đó, các đường tròn được sử dụng là bằng nhau.
Ví dụ: Dựng tam giác đều cạnh $a$
Chứng minh rằng $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$.
→ $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$.
Bài tập 2. Dựng hai đường tròn bằng nhau sao cho chúng giao nhau tại hai điểm. Hãy xác định dạng hình được tạo thành khi nối hai tâm và hai giao điểm.
Bài tập 3. Cho hai đường tròn bằng nhau $(O_1; r)$ và $(O_2; r)$. Chứng minh rằng đường nối hai tâm $O_1O_2$ là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.
Hiểu rõ đặc điểm của hai đường tròn bằng nhau không chỉ giúp ta nắm chắc kiến thức cơ bản về hình tròn, mà còn hỗ trợ tốt cho các bài toán dựng hình, so sánh cung – dây – góc ở tâm và các bài toán thực tế liên quan đến vật thể tròn trong đời sống.
1. Hai đường tròn bằng nhau là gì?
Định nghĩa: Hai đường tròn được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng bán kính. Điều đó có nghĩa là, dù hai đường tròn đó có thể nằm ở vị trí khác nhau trên mặt phẳng, nhưng kích thước của chúng hoàn toàn giống nhau.- $ (O_1; r_1) $
- $ (O_2; r_2) $
Ký hiệu “$\cong$” nghĩa là “bằng nhau về hình dạng và kích thước”.
Ví dụ
- Hai đồng xu cùng mệnh giá.
- Hai bánh xe có cùng đường kính.
- Hai chiếc nắp chai có cùng kích thước.
2. Cách nhận biết hai đường tròn bằng nhau
So sánh bán kính
Đây là cách nhận biết đơn giản nhất: Nếu hai đường tròn có cùng bán kính $r$ thì chắc chắn chúng bằng nhau.Ví dụ: $r_1 = 3 , \text{cm}, , r_2 = 3 , \text{cm} \Rightarrow (O_1; 3) \cong (O_2; 3)$
Dùng compa để kiểm tra
Trong bài toán thực hành hoặc dựng hình, ta có thể:- Mở compa theo bán kính của đường tròn thứ nhất.
- Giữ nguyên độ mở compa và thử vẽ lại trên đường tròn thứ hai.
Bài tập
Bài tập: Cho hai đường tròn $(O_1; 2,cm)$ và $(O_2; 2,cm)$. Hỏi chúng có bằng nhau không?Giải:
Vì $r_1 = r_2 = 2,cm$ nên $(O_1; r_1) \cong (O_2; r_2)$.
→ Hai đường tròn bằng nhau.
3. Tính chất của hai đường tròn bằng nhau
Khi hai đường tròn bằng nhau, các yếu tố tương ứng của chúng (dây, cung, góc ở tâm) cũng bằng nhau. Cụ thể:Các dây cung tương ứng bằng nhau
Nếu ta lấy hai dây cung có cùng độ dài trong hai đường tròn bằng nhau, thì chúng tương ứng với nhau.Ngược lại, nếu hai dây bằng nhau trong hai đường tròn bằng nhau, thì hai dây này cách tâm một khoảng bằng nhau.
Các cung tương ứng bằng nhau
Nếu hai đường tròn bằng nhau, các cung có cùng số đo góc ở tâm sẽ bằng nhau về độ dài.Ví dụ: Trong hai đường tròn bằng nhau $(O_1; r)$ và $(O_2; r)$, nếu $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$ thì: $ \text{Độ dài cung } AB = \text{Độ dài cung } A'B' $
Các góc ở tâm tương ứng bằng nhau
Nếu hai đường tròn bằng nhau, các góc ở tâm chắn cùng một loại cung (có cùng độ dài) sẽ bằng nhau.Ví dụ: $\text{Nếu } AB = A'B' \Rightarrow \widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$
Khi chồng hai đường tròn lên nhau, chúng trùng khít hoàn toàn
Điều này thể hiện rõ ràng nhất khái niệm “bằng nhau”: Khi đặt chồng lên, không có phần nào của đường tròn này nằm ngoài hoặc thiếu so với đường tròn kia.4. So sánh với các loại đường tròn khác
Để hiểu đúng “hai đường tròn bằng nhau”, ta cần phân biệt với các loại đường tròn khác dễ nhầm:Khác với đường tròn đồng tâm
Hai đường tròn đồng tâm có cùng tâm nhưng khác bán kính, nên không bằng nhau.Ví dụ: $ (O; 2) $ và $ (O; 4) $ là hai đường tròn đồng tâm, nhưng không bằng nhau vì $r_1 \ne r_2$.
Khác với đường tròn tiếp xúc
Hai đường tròn tiếp xúc chỉ chạm nhau tại một điểm duy nhất, có thể khác bán kính.→ Vì thế, đường tròn tiếp xúc không đồng nghĩa với đường tròn bằng nhau.
Cách nhận biết nhanh
| Loại đường tròn | Vị trí tâm | Bán kính | Kết luận |
|---|---|---|---|
| Hai đường tròn bằng nhau | khác hoặc trùng tâm | bằng nhau | Đồng dạng |
| Hai đường tròn đồng tâm | cùng tâm | khác nhau | Không bằng |
| Hai đường tròn tiếp xúc | khác tâm | có thể khác | Không bằng |
5. Ứng dụng
Trong bài toán dựng hình
Khi dựng hình bằng thước và compa, học sinh thường cần vẽ hai hoặc nhiều đường tròn có cùng bán kính (ví dụ: dựng tam giác đều, dựng hình lục giác nội tiếp...).Khi đó, các đường tròn được sử dụng là bằng nhau.
Ví dụ: Dựng tam giác đều cạnh $a$
- Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $a$
- Vẽ đường tròn tâm $B$ bán kính $a$Hai đường tròn này bằng nhau và giao nhau tại hai điểm tạo thành tam giác đều.
Trong bài toán thực tế
Các vật thể tròn trong đời sống thường là các đường tròn bằng nhau:- Bánh xe hai bên xe đạp.
- Các bánh răng đồng kích cỡ.
- Các đĩa CD cùng loại.Việc đảm bảo “bằng nhau” giúp chuyển động trơn tru, cân đối và chính xác.
Trong chứng minh hình học
Khi giải bài tập, ta có thể sử dụng tính chất của hai đường tròn bằng nhau để:- So sánh các dây hoặc cung tương ứng.
- Suy ra độ dài bằng nhau giữa các đoạn thẳng.
- Chứng minh hai góc bằng nhau dựa trên các yếu tố tương ứng.
6. Bài tập
Bài tập 1. Cho hai đường tròn $(O_1; 3,cm)$ và $(O_2; 3,cm)$. Lấy trên đường tròn $(O_1)$ dây $AB$, trên đường tròn $(O_2)$ dây $A'B'$ sao cho $AB = A'B'$.Chứng minh rằng $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$.
Giải
Vì hai đường tròn bằng nhau ($r_1 = r_2$) nên dây tương ứng bằng nhau sẽ chắn cung tương ứng bằng nhau, từ đó góc ở tâm bằng nhau.→ $\widehat{AOB} = \widehat{A'O'B'}$.
Bài tập 2. Dựng hai đường tròn bằng nhau sao cho chúng giao nhau tại hai điểm. Hãy xác định dạng hình được tạo thành khi nối hai tâm và hai giao điểm.
Giải
Khi hai đường tròn bằng nhau giao nhau tại hai điểm, nối hai tâm và hai giao điểm, ta được hình thoi (vì hai cạnh liền kề bằng nhau).Bài tập 3. Cho hai đường tròn bằng nhau $(O_1; r)$ và $(O_2; r)$. Chứng minh rằng đường nối hai tâm $O_1O_2$ là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.
Giải
Do hai đường tròn có cùng bán kính và bố trí đối xứng nhau qua đoạn nối tâm, nên $O_1O_2$ chính là trục đối xứng của hình.7. Tổng kết bài học
Điểm cần ghi nhớ
- Hai đường tròn bằng nhau là hai đường tròn có cùng bán kính.
- Ký hiệu: $ (O_1; r_1) \cong (O_2; r_2) $ nếu $r_1 = r_2$.
- Các yếu tố tương ứng (dây, cung, góc ở tâm) của hai đường tròn bằng nhau đều bằng nhau.
- Khi chồng lên nhau, hai đường tròn trùng khít hoàn toàn.
Lưu ý sai lầm thường gặp
- Nhiều học sinh nhầm “hai đường tròn đồng tâm” là “hai đường tròn bằng nhau”.
- Thực tế: đồng tâm ≠ bằng nhau, trừ khi bán kính bằng nhau.
Tóm lại:
- Hai đường tròn bằng nhau là hai đường tròn có cùng bán kính, có các yếu tố tương ứng bằng nhau và trùng khớp hoàn toàn khi chồng lên nhau.
- Đây là kiến thức cơ bản nhưng rất quan trọng để hiểu sâu hơn về các dạng bài tập đường tròn trong chương trình Toán THCS.
Last edited: