Trong quá trình học lượng giác, phương trình bậc nhất theo sin và cos là một trong những dạng bài xuất hiện sớm nhưng giữ vai trò nền tảng để phát triển các kỹ thuật giải nâng cao. Dạng phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) tưởng chừng đơn giản, nhưng lại đòi hỏi khả năng biến đổi linh hoạt và hiểu sâu về mối quan hệ giữa sin, cos và góc.
Trước khi đi sâu vào từng bước giải cụ thể, bạn nên tham khảo bài viết tổng hợp “Cách giải phương trình lượng giác hay nhất” để nắm được toàn cảnh các dạng phương trình lượng giác phổ biến, công thức biến đổi thường gặp và chiến lược chọn phương pháp giải phù hợp.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung khai thác chi tiết cách giải và các mẹo nhanh cho dạng phương trình bậc nhất theo sin và cos, giúp bạn hiểu bản chất, ghi nhớ công thức và áp dụng hiệu quả vào các bài tập nâng cao.
Chia hai vế phương trình (\(*\)) cho \(\sqrt{a^2 + b^2} \ne 0\), ta được: $ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}. $
Bấm máy (nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt: $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$
Phương trình trở thành: $\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
→ Tới đây là dạng cơ bản!!!
Nếu phải thì ta được một họ nghiệm này.
Với $\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Rightarrow x \ne \pi + k2\pi,$ đặt $t = \tan \frac{x}{2},$ khi đó: $ \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}. $
Khi đó, phương trình $()$ trở thành: $b + c t^2 - 2a t + c - b = 0 \Rightarrow \tan x \Rightarrow x \ldots$
Mở rộng 1: $a\sin x + b\cos x = c\sin y$ hoặc $a\sin x + b\cos x = c\cos y$.
Mở rộng 2: $a\sin x + b\cos x = c\sin y + d\cos y.$
Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$ $ \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,$ (k ∈ Z).
Bài 2. Giải phương trình: $\sin^3 x + \cos^3 x = \sin x - \cos x \ (2).$
$\Leftrightarrow \cos x (-\sin x \cos x + \cos^2 x + 1) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\left( * \right)\\ - \sin x\cos x + {\cos ^2}x + 1 = 0\left( {**} \right) \end{array} \right.$
$(*) \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \ (k \in \mathbb{Z}).$
$(**) \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = - 1$
$ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 3$ (vô Nghiệm)
Bài 3: Giải phương trình: $1 + \sin^3 2x + \cos^3 2x = \dfrac{1}{2}\sin 4x \quad (3).$
⇔ 2 - sin4x + 2(sin2x + cos2x)(1 - sin2xcos2x) = 0
⇔ 2 - sin4x + (sin2x + cos2x)(2 - 2sin2xcos2x) = 0
⇔ 2 - sin4x + (sin2x + cos2x)(2 - sin4x) = 0
a) $2\sin x - 2\cos x = \sqrt{2}$
b) $\sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x = \sqrt{2}$
c) $\sin 4x - \sqrt{3}\cos 4x = 2$
d) $\cos x - \sqrt{3}\sin x = -1$
e) $\sqrt{3}\cos 3x - \sin 3x - 2 = 0$
f) $\cos 2x - 2\sin 2x = 3$
Bài 21. Giải các phương trình sau:
a) $2\sin 2x \cos 2x + \sqrt{3}\cos 4x = -\sqrt{2}$
b) $\sin 2x + \sin^2 x = \dfrac{1}{2}$
c) $2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 3\cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
d) $\cos^2 x - \sqrt{3}\sin 2x = 1 + \sin^2 x$
e) $5\sin 2x - 6\cos^2 x = 13$
f) $2\sin 3x + \sin 2x = \sqrt{3}\cos 2x$
g) $\sin 3x + \sin 5x = \sqrt{3}(\cos 5x - \cos 3x)$
h) $\sqrt{3}\sin 4x - \cos 4x = \sin x - \sqrt{3}\cos x$
i) $\sin 7x - \cos 6x = \sqrt{3}(\sin 6x + \cos 7x)$
j) $\sin 5x + \sqrt{3}\cos 5x = 2\cos 3x$
Bài 23. Giải các phương trình sau:
a) $\tan x - \sqrt{3} = \dfrac{1}{\cos x}$
b) $\sqrt{3}\sin 6x + 4\cos^3 2x = 1 + 3\cos 2x$
c) $\cos^3 x \cos 3x - \sin^3 x \sin 3x = \dfrac{5}{8}$
d) $4\sin 2x - 3\cos 2x - 5\cos\left(3x + \dfrac{3\pi}{2}\right) = 0$
e) $4\sin^2 \dfrac{x}{2} - \sqrt{3}\cos 2x = 1 + 2\cos^2\left(x - \dfrac{3\pi}{4}\right)$
f) $\cos 2x - \sqrt{3}\sin 2x - \sqrt{3}\sin x - \cos x + 4 = 0$
g) $(\sin x + \cos x)^3 - \sqrt{2}(1 + \sin 2x) + \sin x + \cos x = \sqrt{2}$
Trước khi đi sâu vào từng bước giải cụ thể, bạn nên tham khảo bài viết tổng hợp “Cách giải phương trình lượng giác hay nhất” để nắm được toàn cảnh các dạng phương trình lượng giác phổ biến, công thức biến đổi thường gặp và chiến lược chọn phương pháp giải phù hợp.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung khai thác chi tiết cách giải và các mẹo nhanh cho dạng phương trình bậc nhất theo sin và cos, giúp bạn hiểu bản chất, ghi nhớ công thức và áp dụng hiệu quả vào các bài tập nâng cao.
Dạng cơ bản: $a\sin x + b\cos x = c \quad (*)$
Cách giải 1
Điều kiện để phương trình có nghiệm: $a^2 + b^2 \ge c^2.$Chia hai vế phương trình (\(*\)) cho \(\sqrt{a^2 + b^2} \ne 0\), ta được: $ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}. $
Bấm máy (nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt: $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$
Phương trình trở thành: $\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$
→ Tới đây là dạng cơ bản!!!
Cách giải 2
Kiểm tra xem $\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi$ có phải là nghiệm không?Nếu phải thì ta được một họ nghiệm này.
Với $\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Rightarrow x \ne \pi + k2\pi,$ đặt $t = \tan \frac{x}{2},$ khi đó: $ \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}. $
Khi đó, phương trình $()$ trở thành: $b + c t^2 - 2a t + c - b = 0 \Rightarrow \tan x \Rightarrow x \ldots$
Mở rộng 1: $a\sin x + b\cos x = c\sin y$ hoặc $a\sin x + b\cos x = c\cos y$.
Mở rộng 2: $a\sin x + b\cos x = c\sin y + d\cos y.$
Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
- $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \sin b \cos a$
- $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
Bài tập
Bài 1. Giải phương trình: $\sqrt{3}\cos 2x + \sin 2x = 2 \quad (1).$Giải
$(1) \Leftrightarrow \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = 2$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = 1$ $ \Leftrightarrow \sin 2x \cdot \cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3} \cdot \cos 2x = 1$$ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1$ $ \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,$ (k ∈ Z).
Bài 2. Giải phương trình: $\sin^3 x + \cos^3 x = \sin x - \cos x \ (2).$
Giải
$(20) \Leftrightarrow \sin x (\sin^2 x - 1) + \cos^3 x + \cos x = 0 \Leftrightarrow -\sin x \cos^2 x + \cos^3 x + \cos x = 0$$\Leftrightarrow \cos x (-\sin x \cos x + \cos^2 x + 1) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\left( * \right)\\ - \sin x\cos x + {\cos ^2}x + 1 = 0\left( {**} \right) \end{array} \right.$
$(*) \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \ (k \in \mathbb{Z}).$
$(**) \Leftrightarrow - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = - 1$
$ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 3$ (vô Nghiệm)
Bài 3: Giải phương trình: $1 + \sin^3 2x + \cos^3 2x = \dfrac{1}{2}\sin 4x \quad (3).$
Giải
(3)⇔ 2 - sin4x + 2(sin$^3$2x + cos$^3$2x) = 0⇔ 2 - sin4x + 2(sin2x + cos2x)(1 - sin2xcos2x) = 0
⇔ 2 - sin4x + (sin2x + cos2x)(2 - 2sin2xcos2x) = 0
⇔ 2 - sin4x + (sin2x + cos2x)(2 - sin4x) = 0
Bài tập tự giải
Bài 20. Giải các phương trình sau:a) $2\sin x - 2\cos x = \sqrt{2}$
b) $\sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x = \sqrt{2}$
c) $\sin 4x - \sqrt{3}\cos 4x = 2$
d) $\cos x - \sqrt{3}\sin x = -1$
e) $\sqrt{3}\cos 3x - \sin 3x - 2 = 0$
f) $\cos 2x - 2\sin 2x = 3$
Bài 21. Giải các phương trình sau:
a) $2\sin 2x \cos 2x + \sqrt{3}\cos 4x = -\sqrt{2}$
b) $\sin 2x + \sin^2 x = \dfrac{1}{2}$
c) $2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) + 3\cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$
d) $\cos^2 x - \sqrt{3}\sin 2x = 1 + \sin^2 x$
e) $5\sin 2x - 6\cos^2 x = 13$
f) $2\sin 3x + \sin 2x = \sqrt{3}\cos 2x$
g) $\sin 3x + \sin 5x = \sqrt{3}(\cos 5x - \cos 3x)$
h) $\sqrt{3}\sin 4x - \cos 4x = \sin x - \sqrt{3}\cos x$
i) $\sin 7x - \cos 6x = \sqrt{3}(\sin 6x + \cos 7x)$
j) $\sin 5x + \sqrt{3}\cos 5x = 2\cos 3x$
Bài 23. Giải các phương trình sau:
a) $\tan x - \sqrt{3} = \dfrac{1}{\cos x}$
b) $\sqrt{3}\sin 6x + 4\cos^3 2x = 1 + 3\cos 2x$
c) $\cos^3 x \cos 3x - \sin^3 x \sin 3x = \dfrac{5}{8}$
d) $4\sin 2x - 3\cos 2x - 5\cos\left(3x + \dfrac{3\pi}{2}\right) = 0$
e) $4\sin^2 \dfrac{x}{2} - \sqrt{3}\cos 2x = 1 + 2\cos^2\left(x - \dfrac{3\pi}{4}\right)$
f) $\cos 2x - \sqrt{3}\sin 2x - \sqrt{3}\sin x - \cos x + 4 = 0$
g) $(\sin x + \cos x)^3 - \sqrt{2}(1 + \sin 2x) + \sin x + \cos x = \sqrt{2}$
Last edited: